đề thi IMO 48 tại Việt Nam

Gem · 26-07-2007, 11:09 PM

IOM 48 ( Vô địch Toán Quốc Tế lần thứ 48 ) được tổ chứ tại VN .

Đại diện VN gồm :

1-Đỗ Xuân Bách (KHTN-HN, lớp 12)
2-Phạm Duy Tùng (KHTN-HN, lớp 11)
3-Phạm Thành Thái (Hải Dương, lớp 12)
4-Nguyễn Xuân Trường (Vĩnh Phúc, lớp 12)
5-Đặng Ngọc Thanh( Quảng Bình, lớp 12)
6-Lê Ngọc Sơn ( Bắc Giang, lớp 11)

Sau đây là đề thi :

Bài 1: Cho các số thực dương $a_1,a_2,...,a_n$ . Với mỗi $i, \ (1 \leq 1 \leq n)$ , ta định nghĩa $d_{i}= \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \}-\min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}$ . Đặt $d_i=max\{d_i|1 \leq i \leq n\}$ .
a. Chứng minh rằng, với mọi bộ số thực $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ , ta có [IMG]http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Cmax%20%5C%7B%20%7Cx_%7Bi%7D-a_%7Bi%7D%7C%20%5Cmid%201%20%5Cleq%20i%20%5Cleq%20 n%20%5C%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D.%20%5Cqua d%20%5Cquad%20%28*%29[/IMG]
b. Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ để dấu bằng trong [IMG]http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%28*%29[/IMG] xảy ra.

Bài 2: Cho hình bình hành $ABCD$ và một điểm $E$ thoả mãn tứ giác $BCED$ nội tiếp. $l$ là một đường thẳng qua $A$ cắt đoạn thẳng $DC$ ở $F$ và đường thẳng $BC$ ở $G$ . Giả sử $EF=EG=EC$ . Chứng minh $l$ là phân giác góc $\hat{DAB}$

Bài 3: Trong một cuộc thi Toán có một số thí sinh là bạn của nhau. Chúng ta gọi một nhóm các thí sinh là một clique nếu như hai người bất kì trong số họ là bạn của nhau. Gọi số thí sinh trong một clique là độ lớn của clique đó. Giả sử rằng độ lớn lớn nhất của một clique là một số chẵn các thí sinh. Chứng minh rằng các thí sinh tham dự cuộc thi có thể được chia vào hai căn phòng sao cho độ lớn lớn nhất của clique phòng này bằng độ lớn lớn nhất của clique phòng kia.

Bài 4: Trong tam giác $ABC$ , phân giác của góc $\hat{BCA}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $R$ và cắt trung trực của $BC,CA$ theo thứ tự tại $P,Q$ . Gọi $K,L$ theo thứ tự là trung điểm $BC,CA$ . CMR $S_{\triangle RPK}=S_{\triangle RQL}$

Bài 5: Cho $a,b\in\mathbb {N}^{\star}$ . CMR nếu $(4a^2-1)^2\;\vdots\;4ab-1$ thì $a=b$ .

Bài 6: Cho số nguyên dương $n$ . Xét tập hợp $S=\{(x;y;z)\;|\;x,y,z\in\{0,1,2,\ldots,n\},x+y+z>0\}$ gồm $(n+1)^3-1$ điểm trong không gian (ba chiều). Xác định số nhỏ nhất có thể được các mặt phẳng mà hợp của chúng có thể chứa $S$ nhưng không chứa điểm $(0;0;0)$

Nguồn :

[Đăng nhập để xem liên kết. ]

Gem · 26-07-2007, 11:21 PM

Theo như giới " chuyên môn " thì câu 3 là câu khó nhất .
các bài toán đã được giải ( chưa biết đúng hay không ) bởi các thành viên trên [Đăng nhập để xem liên kết. ]

VTV cũng có phỏng vấn vài thí sinh từ các nứoc như Đan Mạch , Hàn Quốc ...nhìn chung thì họ nhận xét là đề thi khá khó . Và giới " chuyên môn " dự đoán là đoàn VN sẽ có từ 2-3 vàng .

---------

hihi , nhìn cái đề đúng là " vô địch " Toán thiệt .

myhanh · 31-07-2007, 12:25 PM

Hì hì cuối cùng cũng có ba vàng ba bạc! Phù cũng đỡ cho cái vụ lùm xùm về chọn thí sinh tham dự trước khi thi. Nhưng qua cái vụ này myhanh tui cũng đoán là đoàn ta sẽ đạt kết quả tốt nhất từ trước đến giờ.