Nguyên tắc Dirichlet

chinhlh · 30-11-2007, 07:18 AM

The last two problems are similar to the problem of the annulus :

There are 650 special points inside a circle of radius 16. You have a flat washer in the shape of an annulus (the region between two concentric circles), which has an inside radius of 2 and an outside radius of 3. Show that it is always possible to place the washer so that it covers up at least 10 of the special points.

myhanh · 30-11-2007, 07:36 AM

This prolem is same as the one you gave the solution! Thanx

chinhlh · 30-11-2007, 08:01 AM

Xét đường tròn đồng tâm, bán kính 99 cm. Tại mỗi điểm trong 9800 điểm đã cho ta dựng một hình tròn bán kính 1cm. Tổng diện tích của các hình tròn này là $9800\pi$ nhỏ hơn diện tích của hình tròn 99cm. Theo hệ quả 3, 9800 hình tròn này không phủ hết được hình tròn 99cm. Ta tìm được một điểm nằm trong hình tròn 99cm mà khonảng cách từ nó đến 9800 điểm còn lại đều lớn hơn 1cm.

chinhlh · 30-11-2007, 08:29 AM

Bài toán xây nhà được giải tương tự như bài toán trên.

Xét hình vuông cạnh 60m, tâm là tâm của hình vuông lớn 70m.

Vẽ hình vuông cạnh 40m, tâm là tâm của hình vuông 30, (Mọi điểm nằm bên ngoài hình vuông này đều có thể dùng làm tâm để xây dựng một hình tròn đường kính 10m mà không cắt hình vuông 40m ấy). Xét $A_1$ là phần bù của HV 40m trong HV 60m. Diện tích của $A_1$ không nhỏ hơn $a_1=(60^2-40^2)$ .

Vẽ hình chữ nhật 30x20, tâm là tâm của hình chữ nhật 20x10, và $A_2$ là phần bù của nó trong HV 60m. Diện tích của $A_2$ không nhỏ hơn $a_2=(60^2-600)$ .

Vẽ hình vuông cạnh 25m, tâm là tâm của hình vuông 15x15. Diện tích của $A_3$ không nhỏ hơn $a_3=(60^2-25^2)$ .

Vẽ hai hình tròn lần lượt cùng tâm với hai hình tròn đường kính 10m và có bán kính là 10m. Diện tích của $A_4$ cũng như $A_5$ không nhỏ hơn $a_4=a_5=60^2-100\pi$ .

Theo hệ quả 3 tồn tại một điểm được phủ bởi không ít hơn $\frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)}{60^2}$ hình trong số 5 hình $A_i$ vừa dựng. Con số này lớn hơn 4. Hình tròn bán kính 5m tâm là điểm vừa tìm được, nằm hoàn toàn trong hình vuông 70m và không cắt bất kỳ hạng mục nào đã dựng.

myhanh · 30-11-2007, 08:43 AM

Bài này tất cả điều hay nhưng trong phép tính lân cận ( lân cận trong và lân cận ngoài) của hcn chưa đúng. Nó không phải là đường tròn tâm của hcn đâu. Hên là cuối cùng kết quả vẫn đúng!

chinhlh · 30-11-2007, 09:01 AM

À, em sai c ngay từ đều rồi. Cảm ơn anh. Em sẽ sửa lại

myhanh · 30-11-2007, 09:37 AM

Gọi N(H,r) là hình tạo thành từ hình H và lân cận ngoài của hình H bán kính r. Ta gọi A, B, C, D, E lần lượt là các hình chữ nhật diện tích 20 x 10 $m^2$ , 15x15 $m^2$ , 30 x 30 $m^2$ và hai hình tròn bán kính 10 m.
Gọi S(A) là diện tích hình A. Ta có:
$S(N(A,5))=20.10+ 2.5.20+2.5.10+4 (\frac1 4 .5^2.\pi)=500+25\pi (m^2)$
$S(N(B,5))=15.15+4(5.15)+4 (\frac1 4 .5^2.\pi)=525+25\pi(m^2)$
$S(N(C,5))=30.30+4(5.15)+4 (\frac1 4 .5^2.\pi)=1200+25\pi(m^2)$
$S(N(D,5))=S(N(E,5))=(5+5)^2\pi=100\pi(m^2)$
Vậy tổng diện tích S là:
$SS=S(N(A,5))+S(N(B,5))+S(N(C,5))+S(N(D,5))+S(N(E,5 ))=$
$=(500+25\pi)+(525+25\pi)+(1200+25\pi)+2.100\pi=$
$=2225+275\pi (m^2)$
Gọi T(H,r) là hình tạo thành từ hình H và bỏ đi lân cận trong của hình H.
Gọi F là hcn diện tích 70x70 $m^2$ .
Ta có
$S=S(T(F,5))=(70-10)(70-10)=3600 (m^2)$
$S-SS=3600-(2225+275\pi)=1375-275\pi >0$
Áp dụng hệ quả 3 ta có: Tồn tại điểm M để từ đây ta có thể dựng đường tròn đường kính 10 m thõa mãn đề bài.

chinhlh · 30-11-2007, 10:12 AM

Trích:

Nguyên văn bởi myhanh

Cho khu đất hình chữ nhật có diện tích 70 x 70 $m^2$ . Người ta định cho xây dựng ba ngôi nhà cao tầng. Mỗi ngôi nhà có móng hình chữ nhật diện tích lần lượt là 20 x 10 $m^2$ , 15 x 15 $m^2$ , 30 x 30 $m^2$ . Ngoài ra người ta sẽ xây hai sân chơi hình tròn có đường kính 10m. Chứng minh rằng người ta còn có thể xây thêm được một bồn hoa hình tròn có đường kính 10 m trên khu đất này sau khi đã xây dựng xong các hạng mục trên.

Ở đây anh ghi là đường kính 10m. Nếu là đường kính thì bài này còn "lỏng" chưa chặt, cho nên giải kiểu như em vẫn đúng. Bây giờ đổi thành bán kính thì phải giải kiểu của anh thôi. Ý tưởng của hai lời giải này là giống nhau.

myhanh · 30-11-2007, 10:15 AM

Không đâu! Anh đang giải với đường kính bằng 10 m đấy chứ không phải bán kính!

chinhlh · 30-11-2007, 10:32 AM

Dựa trên hai cách giải đã có, em đưa ra bài toán tương tự nhưng nghiêm ngặt hơn như sau:

Cho khu đất hình chữ nhật có diện tích 70 x 70 $m^2$ . Người ta định cho xây dựng ba ngôi nhà cao tầng. Mỗi ngôi nhà có móng hình chữ nhật diện tích lần lượt là 20 x 10 $m^2$ , 15 x 15 $m^2$ , 30 x 30 $m^2$ . Ngoài ra người ta sẽ xây 3 sân chơi hình tròn có đường kính 10m. Chứng minh rằng người ta còn có thể xây thêm được một bồn hoa hình tròn có đường kính 10 m trên khu đất này sau khi đã xây dựng xong các hạng mục trên.

Đối với bài toán này, giải theo kiểu ban đầu hơi lãng phí, nên sẽ ra số nhỏ hơn 6. Tuy nhiên cách giải sau tiết kiệm hơn và cho ra kết quả đúng.
Cảm ơn anh đã chỉ rõ, anh còn bài nào khác không?