ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Gem · 18-05-2008, 10:30 AM

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4

tổ chức ngày 5/4/2008 tại trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp. HCM

Câu 1:
Giải hệ phương trình: $\{\begin{x+y-z=7}\\{x^{2}+y^{2}-z^{2} =37}\\{x^{3}+y^{3}-z^{3}=1}$
Câu 2:
Cho $\Delta ABC$ có diện tích $S$ . Gọi M, N, K là các điểm nằm trên $BC, CA, AB$ sao cho: $30\vec{MB}+\vec{MC} = 4\vec{NA}+\vec{NC} = 14\vec{KA}+ \vec{KB} = \vec{0}$

Gọi $D, E ,F$ lần lượt là giao điểm của các đoạn thẳng $AM$ và $CK$ , $AM$ và $BN$ , $CK$ và $BN$ .
Tính $S_ \Delta DEF$ theo $S$ .

Câu 3:
Chứng minh rằng [IMG]http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cforall%20n%5Cin%20N%5E%7B*%7D[/IMG]và $x \in(0;1)$ , ta luôn có bất đẳng thức: $x^{2}.\sqrt[n]{1-x} \leq \frac{2n}{2n+1} .\frac{1}{\sqrt[n]{2n+1} }$

Câu 4:
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho:
$\forall a\in Z, \forall b\in Z ,a^{2}\equiv b^{2}(mod m) \Rightarrow a \equiv \pm b(mod m)$
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 2 đường tròn: $(C_1) x^{2}+y^{2} =2$ và $(C_2) x^{2}+y^{2} =5$ và điểm $A(0;1)$ . Xác định tọa độ của $B$ trên $(C_1)$ và $C$ trên ( $C_2)$ sao cho $S_\Delta ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

nguồn diendantoanhoc.net

----------------------

gem nghĩ với đề bài này thì học sinh trường mình có thể làm được các câu 1,2,5 vì các thầy cũng đã ôn kỹ các phần này.

Hồi thời của Gem thỉ các đề thi hầu như ra dạng cách giải chân phương và trường Lê Hồng Phong TPHCM lúc nào cũng dính một đề trong đó. Ngoài Lê Hồng Phong thì có 3 "thế lực " khác rất mạnh là Lê Quí Đôn Đà Nẵng và Lương Thế Vinh Đồng Nai.