Ta chứng minh BDT sau đây và từ đó suy ra BDT ban đầu :
.)
Điều này tương đương với
(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2+(\frac{1}{a}-1)(c-a)^2 \geq 0.)
Nếu cả ba số
đều không lớn hơn 1 thì ok.
Bây giờ giả sử
Ta sử dụng BDT sau đây :
^2}{x+y} )
với
là các số dương.
Ta có
(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2 \geq \frac{(a-b)^2}{\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}.)
Như vậy ta cần chứng minh
Sau khi rút gọn ta được
Rào cản cuối cùng được giải quyết bởi BDT Cauchy ở dạng sơ cấp nhất. Ta làm như sau :
=4a+(b+c)(1-3a^2)\geq 4a+\frac{1-3a^2}{a})
