Cựu Học Sinh Lê Quý Đôn - Long An - View Single Post - Đề thi HSG Toán cấp tỉnh vòng 1 2008-2009

myhanh · 12-11-2008, 10:43 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Chị Gem nghi ngờ điều gì chăng? Trong bài 5 Phanthuyen đã đánh máy nhầm chữ c và b. Nếu để như vậy thì giải không được ( cho a=b=1,c=0,5), cần phải sửa lại như sau:
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương (thực ra chỉ cần không âm). Chứng minh rằng $a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).$
Áp dụng BDT Cauchy cho 5 số không âm ta được
$a^5 +1+1+1+1\geq 5a$
$b^5 +1+1+1+1\geq 5b$
$c^5 +1+1+1+1\geq 5c.$

Mình thích dùng Bernoulli: $(1+x)^r\geq1+rx$ .
Trong đó r nguyên và $r\geq0$ ,x>-1.
Do a,b,c là ba số thực dương nên a-1, b-1,c-1 >-1.
Vậy ta có:
$(1+(a-1))^5 \geq 1+5(a-1)=5a-4$
$(1+(b-1))^5 \geq 1+5(b-1)=5b-4$
$(1+(c-1))^5 \geq 1+5(c-1)=5c-4$
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có:
$a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).$
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Cách dùng Cauchy là cách hay nhưng hơi mẹo không mang tính hệ thống nên bị áp lực thời gian khó nghĩ ra.
Khi so sánh $a^n$ với na nên nghĩ ngay đến Bernoulli.