Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Tìm tất cả các hàm số f:R-->R thỏa :
f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)
Hok bít cóa anh(chị) nào cùng em làm bài này dc hok. Ra tay đi các hiệp sĩ!!!!!!!!!!!!!!

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Không biết cách này có đúng không, 92A01 post lên để mọi người xem có đúng không nhé:
- cho x=y, ta có:
f(x+f(x)) + f(x*f(x)) = x + f(x) + x*f(x)
đặt u = x + f(x) và v = x*f(x), khi đó:
f(u) + f(v) = u + v
Đặt u = v = t:
2f(t) = 2t => f(t) = t

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Vậy thì thêm vài bước nữa:
- đặt u=0, v=0: f(0)=0, điều này thoả u=x*f(x) và v=x+f(x)
-đặt u=0: f(v)=v

VẬy có được không?

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Mới chập chững làm thử thôi , hehheeh.

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

*Cho x=y=0 ta có:
f(0+f(0))+f(0*f(0))=0+f(0)+0*f(0)
<=> f(f(0))+f(0)=f(0)
<=> f(f(0)) = 0. (1)
*Cho x=0 ta có:
f(0+f(y))+f(0*f(y))=y+y*f(0)+f(0)
<=>f(f(y))=y+yf(0) (2)
*Chọn y=f(0)
f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0)))=f(0)+f(x)+f(0).f(x)
<=>f(x)=f(x)+f(0)+f(0).f(x)
<=>f(0)[f(x)+1]=0
<=> f(0)=0 v f(x)=-1.
Xét từng trường hợp cụ thể:

*f(0)=0 thay vào (2) suy ra f(f(y))=y với mọi y.
=>f(x)=x.
*f(x)=-1:
f(x+f(y))=-1
f(x*f(y))=-1
f(x+f(y))+f(x*f(y))=-2
y+yf(x)+f(x)=y-y-1=-1
Rõ ràng f(x)=-1 không là nghiệm.
Đáp số:
f(x)=x là nghiệm của phương trình trên.

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

That ra bai nay em đa nhơ anh Chinh jai rui. Anh Chinh noi hay nen moi kiu em post bai len. Hôm nay em moi thay anh myhanh ra tay đo nha

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
 

Anh myhanh ui. f(f(y)=y thi chua đu đê suy ra f(x)=x đâu

Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc