Đề thi đại học khối B

[myhanh]

Giải hệ phương trình:

\left\{ \begin{array}{ll}xy+x+1=7y\\
x^2y^2+xy+1=13y^2
\end{array}

Bài giải theo đáp án của Bộ giáo dục đào tạo:
Hệ phương trình đã cho tương tương:

\left\{ \begin{array}{ll}x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}=7\\
x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}=13
\end{array}

(do y=0 không là nghiệm nên chỉ xét y\neq 0)

\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll}(x+\frac{1}{y})+\frac{x}{y}=7\\
(x+\frac{1}{y})^2-\frac{x}{y}=13\end{array}

\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll}(x+\frac{1}{y})^2+(x+\frac{1}{y})-20=0\\
\frac{x}{y}=7-(x+\frac{1}{y})\end{array}

\Longleftrightarrow \begin{array}{lcclc} \left\{ \begin{array}{ll}x+\frac{1}{y}=-5\\
x=12y\end{array}(I) \bigvee \left\{ \begin{array}{ll}x+\frac{1}{y}=4\\
x=3y\end{array}(II) \end{array}
(I) vô nghiệm
(II) có hai nghiệm (x;y)=(1;\frac{1}{3}) và (x;y)=(3;1)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm như trên.
Mình đọc xong đáp án thấy rằng nếu một học sinh không qua lò luyện gà liệu có giải được theo phương pháp đó không ?

[myhanh]

Theo mình cách giải sau đây sẽ tự nhiên hơn rất nhiều.
Đánh dấu các phương trình trong hệ như sau:
\left\{ \begin{array}{ll}xy+x+1=7y (1)\\
x^2y^2+xy+1=13y^2 (2)
\end{array}
(1) \Leftrightarrow x(y+1)=7y-1 (3)
Rõ ràng y=-1 không là nghiệm của hệ. Xét y khác -1.
(3)\Leftrightarrow x=\frac{7y-1}{y+1}(4)
Thay vào (2) ta có:
(\frac{7y-1}{y+1})^2y^2+(\frac{7y-1}{y+1})y+1=13y^2
\Leftrightarrow (7y-1)^2y^2+(7y-1)y(y+1)+(y+1)^2=13y^2(y+1)^2
\Leftrightarrow 36y^4-33y^3-5y^2+y+1=0(5)
Phương trình bậc 4 này có tổng các hệ số bằng 0 vậy có nghiệm là 1.
(5)\Leftrightarrow (y-1)(36y^3+3y^2-2y-1)=0
\Leftrightarrow \left{y=1\\36y^3+3y^2-2y-1=0 (6)
Phương trình bậc 3 (6) thì thí sinh có thể bấm máy tính để cho nghiệm y=1/3.
Lấy hai giá trị y thế vào (4) để tương ứng có x=3 và x=1.
Hai nghiệm của phương trình là (x;y)=(1;1/3), (x;y)=(3,1).
Cách giải này không thể hay bằng cách của bộ nhưng một học sinh bình thường có thể nghĩ ra.

[lovelqd]

chỉ cần quần quần một chút cũng sẽ ra thêm 2 cách khác đó :shades_smile: