đề Thi Hsgqg Toán 2009

BS gau · 25-02-2009, 12:04 PM

hok bít làm thì cười chứ sao
Câu 1: Giải hệ pt:
$ \left { \begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{ \sqrt{1+2y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} \end{array} \right$

Câu 2: Cho dãy số $x_n$
$x_1=$ $\frac{1}{2}$
$x_{n+1}=$ $\frac{\sqrt{{x_n^2}+4x_n}+x_n}{2}$
Đặt $y_n=$ $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_i}^2}$
Chứng ming rằng ( $y_n$ ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Trong mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. C là điểm di động sao cho $\hat{ACB} =$ $\alpha$ . (I) nội tiếp $\Delta{ABC}$ tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại E,F,D. 2 đường thẳng IA, IB lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. CMR:
a) MN=const
b) (DMN) đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^n+b^n+c^n$ là số nguyên(n nguyên dương). CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+r=0$

Câu 5:Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Có bao nhiêu cách chọn S, $ S \subset T$ sao cho với a, b là 2 fần tử của S thì không tồn tại $\|a-b| \in \{1;n}$
Chú ý:Tâp hợp rỗng cũng thỏa mãn tính chất trên.

chinhlh · 25-02-2009, 03:05 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Câu 1: Giải hệ pt:
$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=$ $\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$
$\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9}$

Câu 2: Cho dãy số $x_n$
$x_1=$ $\frac{1}{2}$
$x_{n+1}=$ $\frac{\sqrt{{x_n^2}+4x_n}+x_n}{2}$
Đặt $y_n=$ $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_i}^2}$
Chứng ming rằng ( $y_n$ ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Trong mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. C là điểm di động sao cho $\hat{ACB} =$ $\alpha$ . (I) nội tiếp $\Delta{ABC}$ tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại E,F,D. 2 đường thẳng IA, IB lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. CMR:
a) MN=const
b) (DMN) đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^n+b^n+c^n$ là số nguyên(n nguyên dương). CMR tồn tại các số p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+r=0$

Câu 5:Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Có bao nhiêu cách chọn S, $ S \subset T$ sao cho với a, b là 2 fần tử của S thì không tồn tại $\|a-b| \in \{1;n}$
Chú ý:Tâp hợp rỗng cũng thỏa mãn tính chất trên.

Bài 1: Từ phương trình thứ hai ta có $0\leq x,y\leq \frac{1}{2}$ . Từ phương trình đầu tiên ta sẽ tính được x=y. Sử dụng BDT Bunhiakovski và BDT sau đây:
$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}$
Trong đó $0\leq a,b\leq 1$ . Đương nhiên là phải chứng minh BDT này nhưng việc chứng minh là không khó.

Bài 2: Ta thấy dãy $x_n$ là dãy tăng và không có giới hạn hữu hạn nên phải tiến ra vô cùng.
Ta tính được:

$\frac{1}{x_{n+1}^2}=\frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n+1}}$ .

Từ đây tính được giới hạn cần tìm là 6.

chinhlh · 25-02-2009, 03:36 PM

Câu 4 có thể là:
Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^n+b^n+c^n$ là số nguyên với mọi số nguyên dương n. CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+r=0$

Ta cần chứng minh ab+bc+ca và abc là 2 số nguyên.
Ta có $2(a^3+b^3+c^3)-6abc=(a+b+c)(3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2$ . Từ đó suy ra 6abc là số nguyên. Thay a,b,c bởi $a^2,b^2,c^2$ ta được $6a^2b^2c^2$ là số nguyên và do đó $abc\in Z$ .
Tương tự như vậy ta chứng minh được 2(ab+bc+ca) và $2(ab+bc+ca)^2$ đều là số nguyên. Từ đó suy ra kết quả.