Một bài phương trình hàm đặc sắc

[BS gau]

Tìm tất cả các hàm số f:R-->R thỏa :
f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)
Hok bít cóa anh(chị) nào cùng em làm bài này dc hok. Ra tay đi các hiệp sĩ!!!!!!!!!!!!!!

[92A01]

Không biết cách này có đúng không, 92A01 post lên để mọi người xem có đúng không nhé:
- cho x=y, ta có:
f(x+f(x)) + f(x*f(x)) = x + f(x) + x*f(x)
đặt u = x + f(x) và v = x*f(x), khi đó:
f(u) + f(v) = u + v
Đặt u = v = t:
2f(t) = 2t => f(t) = t

[myhanh]

Sai rùi! u và v của anh có quan hệ toán học thì không thể cho u=v

[92A01]

Vậy thì thêm vài bước nữa:
- đặt u=0, v=0: f(0)=0, điều này thoả u=x*f(x) và v=x+f(x)
-đặt u=0: f(v)=v

VẬy có được không?

[92A01]

Mới chập chững làm thử thôi , hehheeh.

[myhanh]

u và v của anh không có miền trị trên R nên anh không thể đặt u=0 hay v=0 được.

[myhanh]

*Cho x=y=0 ta có:
f(0+f(0))+f(0*f(0))=0+f(0)+0*f(0)
<=> f(f(0))+f(0)=f(0)
<=> f(f(0)) = 0. (1)
*Cho x=0 ta có:
f(0+f(y))+f(0*f(y))=y+y*f(0)+f(0)
<=>f(f(y))=y+yf(0) (2)
*Chọn y=f(0)
f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0)))=f(0)+f(x)+f(0).f(x)
<=>f(x)=f(x)+f(0)+f(0).f(x)
<=>f(0)[f(x)+1]=0
<=> f(0)=0 v f(x)=-1.
Xét từng trường hợp cụ thể:

*f(0)=0 thay vào (2) suy ra f(f(y))=y với mọi y.
=>f(x)=x.
*f(x)=-1:
f(x+f(y))=-1
f(x*f(y))=-1
f(x+f(y))+f(x*f(y))=-2
y+yf(x)+f(x)=y-y-1=-1
Rõ ràng f(x)=-1 không là nghiệm.
Đáp số:
f(x)=x là nghiệm của phương trình trên.

[BS gau]

That ra bai nay em đa nhơ anh Chinh jai rui. Anh Chinh noi hay nen moi kiu em post bai len. Hôm nay em moi thay anh myhanh ra tay đo nha

[BS gau]

Anh myhanh ui. f(f(y)=y thi chua đu đê suy ra f(x)=x đâu

[myhanh]

Uh còn thêm một điều kiện nữa! Nhưng lâu quá nên ko nhớ là gì! Nhưng đến đó chắc là cũng được được rùi!