Phương pháp tiên đề

[Ma Bư]

Giới thiệu phương pháp tiên đề </span>


Xây dựng một lý thuyết toán học bằng phương pháp tiên đề là một nét đặc trưng của toán học hiện đại. Tuy nhiên, phương pháp tiên đề đã được Euclid - nhà toán học cổ Hy Lạp phát hiện và sử dụng đầu tiên khi trình bày hình học sơ cấp trong tác phẩm " Cơ bản " của mình. Tinh thần của phương pháp tiên đề là ban đầu một số khái niệm nguyên thuỷ ( không định nghĩa ) và một số mệnh đề ( không chứng minh ) gọi là hệ tiên đề được chọn trước, rồi từ đó dùng phép suy diễn suy ra tất cả những mệnh khác, và các khái niệm khác phải được định nghĩa .
Một hệ tiên đề phải thoả mãn ba tính chất :
Tính phi mâu thuẫn ( nhất quán ) : yêu cầu của tính chất này là từ hệ đó không thể dùng suy diễn logic để suy ra một kết quả mà mâu thuẫn với một tiên đề nào đó hay hai kết quả mâu thuẫn nhau .
Tính độc lập : yêu cầu của tính chất này là không có một tiên đề nào trong hệ là hệ quả của các tiên đề còn lại; tức là không có một tiên đề nào thừa cả .
Tính đầy đủ : yêu cầu của tính chất này là mọi định lý ( mệnh đề mới không nằm trong hệ tiên đề ) có thể chứng minh bằng suy diễn logic ( không dựa vào trực giác ) .

1.CHỨNG MINH TÍNH PHI MÂU THUẪN CỦA MỘT HÊ TIÊN ĐỀ .
Phương pháp hữu hiệu nhất để chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề là phương pháp mô hình. Thoạt đầu, chúng ta gắn ý nghĩa các khái niệm nguyên thuỷ sao cho các tiên đề được nghiệm đúng .
Có hai loại mô hình : mô hình cụ thể và mô hình lý tưởng . Một mô hình gọi là mô hình cụ thể nếu những ý nghĩa được gắn cho các khái niệm nguyên thuỷ là các vật và các mối quan hệ có được từ thế giới hiện thực, còn mô hình được gọi là mô hình lý tưởng nếu những ý nghĩa gắn cho các khái niệm nguyên thuỷ là các vật và các quan hệ có được từ một phát triển của một hệ tiên đề khác .
Khi một mô hình cụ thể được đề nghị, chúng ta có thể tin rằng hệ tiên đề của chúng ta là phi mâu thuẫn, bởi vì các định lý suy từ hệ tiên đề của chúng ta mà mâu thuẫn thì những mệnh đề mâu thuẫn cũng sẽ xảy ra trong mô hình cụ thể của chúng ta. Nhưng chúng ta biết rằng không thể có những mâu thuẫn trong thế giới thực tại .
Không phải lúc nào cũng có thể đưa ra một mô hình cụ thể cho một hệ tiên đề A nào đó. Trong nhiều trường hợp người ta cố gắng đưa ra một mô hình lý tưởng cho hệ tiên đề A bằng cách gắn ý nghĩa cho các khái niệm nguyên thuỷ của hệ tiên đề A các khái niệm của hệ tiên đề B nào khác sao cho các tiên đề cuả hệ A được nghiệm đúng; tức là chúng là những hệ quả logic của hệ tiên đề B. Khi đó tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề A được suy từ tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề B.
Phép chứng minh tính phi mâu thuẫn bằng phương pháp mô hình là một quá trình gián tiếp. Người ta hiểu rằng tính phi mâu thuẫn có thể chứng minh bằng phương pháp trực tiếp, nhằm chỉ ra theo các qui luật suy diễn thì không thể có hai định lý cùng từ một hệ tiên đề lại mâu thuẫn nhau được

2. CHỨNG MINH TÍNH ĐỘC LẬP CỦA MỘT HỆ TIÊN ĐỀ. Để chứng minh tính độc lập của một tiên đề nào đó của một hệ tiên đề là độc lập, ta tìm cách diễn tả các khái niệm nguyên thuỷ sao cho nó không nghiệm đúng mệnh đề đang xét nhưng lại nghiệm đúng các tiên đề còn lại. Nếu ta làm được như vậy thì tiên đề đang xét không thể là hệ quả logic của các tiên đề kia vì nếu nó là hệ quả logic của các tiên đề kia thì theo cách diễn tả các tiên đề ấy nghiệm đúng thì tiên đề đang xét cũng nghiệm đúng. Cách thử nghiệm để xét tính độc lập như vậy là một việc rất tốn kém thời gian, bởi nếu một hệ tiên đề có n tiên đề thì có n phép thử nghiệm riêng biệt ( mỗi tiên đề một thử nghiệm ) cần thực hiện.
Chú ý : Tính đầy đủ không bắt buộc đối với mọi hệ tiên đề. Trong toán học hiện đại người ta thường chú ý đến các lý thuyết toán học dựa trên một hệ tiên đề không đầy đủ. Phạm vi áp dụng của các lý thuyết này rất rộng rãi vì người ta có thể thêm những tiên đề mới để có những môn học mới.

Sau đây là 1 cái VD nha:
<span style=\'color:red\'>Tổng của các lũy thừa, Bài toán của Leonard Euler


Tổng của các lũy thừa



Có rất nhiều người bị cuốn hút bởi toán lũy thừa và số nguyên, và có một số lượng không nhỏ các bài toán được giải quyết, phải chăng bằng suy luận lôgíc hay bằng những khối lượng tính toán đồ sộ trên máy tính. ?

Năm 1769, trong khi nghĩ về cách giải bài toán, nay mang tên bài toán Fermat lớn
, Leonhard Euler (1707 -1783) đã đưa ra một giả thuyết tương tự. " Phải chăng không có một cặp nghiệm a,b,c,d nguyên dương nào thỏa mãn phương trình :
a^4+b^4+c^4=d^4
Thực tế, Euler đã đi xa hơn. Ông đã cho rằng với mọi số nguyên lớn hơn 2, tổng của (n-1) số lũy thừa n không thể là một số lũy thừa n.

Năm 1966, L.J.Landervaf T.R Parkin đã phản chứng lại giả thuyết tổng quát của Euler bằng việc đưa ra phản ví dụ, với n =5. Phương trình a^5 + b^5 + c^5 + d^5 = e^5 đúng khi a = 27, b = 84, c = 110, d = 133 và e = 144.

Năm 1986, Noam D. Elkies thuộc đại học Harvard đã đưa ra một phản ví dụ, chứng minh giả thuyết của Euler là sai với trường hợp n = 4. Phương trình a^4+b^4+c^4=d^4 đúng với a = 2.682.440, b = 15.365.639, c = 18.796.760 và d= 20.615.673.

Bằng việc lập thuật toán cho máy tính, Elkies đã tìm ra được nghiệm, thỏa mãn cho phương trình-giả thuyết của Euler. Một vài nhà toán học khác đã nhanh chóng đưa ra các thuật toán tương tự để tìm ra phản ví dụ như Elkies đã làm, nhưng không một ai đưa ra được cách chứng minh giả thuyết Euler một cách tổng quát.

Một khi Elkies tìm ra được phản ví dụ đầu tiên, thì ông cũng có khả năng đưa ra được các phản ví dụ khác, với những số lớn hơn. Nhưng cái Elkies đã không biết thời đó chính là phải chăng kết quả nghiệm đúng của ông đã là nhỏ nhất ?

Roger Frye, làm việc ở trường đại học Cambridge, sau khi nghe kết quả mà Elkies đạt đươc, ông đã bắt đầu viết chương trình máy tính để tìm kiếm kết quả nhỏ nhất, phản ví dụ cho giả thuyết của Euler.

Làm việc thâu đêm, Frey sử dụng hệ thống máy tính Connection Machine, ông đã tìm ra được kết quả nhỏ nhất, nghiệm đúng phương trình. Máy tính của ông chỉ ra kết quả a = 95.800, b = 217.519, c = 414.560 và d = 422.481.

Tuy nhiên, giả thuyết tổng quát của Euler vẫn còn để lại nhiều câu hỏi chưa được giải quyết. Ví dụ như, không ai tìm ra được phương trình nghiệm đúng trong trường hợp n > 5. Phải chăng lũy thừa 6 của một số có thể được biểu diễn dưới dạng tổng lũy thừa 6 của 5 số khác ?

Hiện tại, có một kết quả khác, ứng với trường hợp n = 5 mới được tìm ra
85359^5 = 85282^5 + 28969^5 + 3183^5 + 55^5

Âydza mình vốn đã dốt Toán mà còn nhảy vô nữa, bọn đàn em cười thúi đầu mất ah :lol: