Một bài phương trình hàm đặc sắc

Le.Giang · 29-12-2008, 12:03 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

B
Tìm tất cả các hàm số $f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f(x^{2009}+y^{2009})=x^{2008}f(x)+y^{2008}f(y)\,,\ ,\forall x,y\in \mathbb{R}.$ (1)

chọn ${y=0}$ : (1) => $f(x^{2009})=x^{2008}.f(x)$ (2)

thế (2) vào (1) ta được:

$f(x^{2009}+y^{2009})=f(x^{2009})+f(y^{2009}) \forall x,y\in \mathbb{R}$ (3)

đặt $a=x^{2009}\, \forall x \in \mathbb{R} => a \in \mathbb{R}$

tương tự đặt $b=x^{2009}\, \forall x \in \mathbb{R} => b \in \mathbb{R}$

thế thì từ (3) => $f(x+y)=f(x)+f(y)$ đến đây giải theo cách cổ điển của thầy Huy đã từng dạy!

ta tìm được $f(x)={c}.{x}$

BS gau · 29-12-2008, 12:03 AM

Làm sao tính được f(1) và g(1). Đề bài ra là g(n)=f(f(n)) + 1 moà

BS gau · 29-12-2008, 12:06 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le.Giang

chọn ${y=0}$ : (1) => $f(x^{2009})=x^{2008}.f(x)$ (2)

thế (2) vào (1) ta được:

$f(x^{2009}+y^{2009})=f(x^{2009})+f(y^{2009}) \forall x,y\in \mathbb{R}$ (3)

đặt $a=x^{2009} \forall x \in \mathbb{R} => a \in \mathbb{R}$

tương tự đặt $b=x^{2009} \forall x \in \mathbb{R} => b \in \mathbb{R}$

thế thì từ (3) => $f(x+y)=f(x)+f(y)$ đến đây giải theo cách cổ điển của thầy Huy đã từng dạy!

ta tìm được $f(x)={c}.{x}$

f(x+y)=f(x) + f(y) thì chưa đủ đề suy ra dc f(x) đâu.

Le.Giang · 29-12-2008, 12:11 AM

Tìm tất cả các hàm số $f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$x.f(x+y)=(x+y).f(x)\, \forall x,y\in \mathbb{R}$

chinhlh · 29-12-2008, 12:13 AM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Làm sao tính được f(1) và g(1). Đề bài ra là g(n)=f(f(n)) + 1 moà

g(1)=ff(1)+1>=2. Như vậy f(1) là số nhỏ nhất trong đám đó. Tức là 1. Tính tiếp...Đáp án là: f(91)=4370 nếu anh tính không nhầm.

Le.Giang · 29-12-2008, 12:16 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

g(1)=ff(1)+1>=2. Như vậy f(1) là số nhỏ nhất trong đám đó. Tức là 1. Tính tiếp...Đáp án là: f(91)=4370 nếu anh tính không nhầm.

hểu ý anh nói nhưng vẫn chưa hiểu tại sao f(1)=1!

chinhlh · 29-12-2008, 12:16 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le.Giang

Tìm tất cả các hàm số $f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$x.f(x+y)=(x+y).f(x)\, \forall x,y\in \mathbb{R}$

Cho x=1 là xong ngay.

chinhlh · 29-12-2008, 12:19 AM

F hợp với G ra toàn bộ số tự nhiên lớn hơn 0. Mà G không chứa 1 vậy thì ...

Le.Giang · 29-12-2008, 12:21 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Cho x=1 là xong ngay.

bây giờ nhúng vô một tý!

Tìm tất cả các hàm số $f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$x.f(x+f(y))=(x+y).f(x)\, \forall x,y\in \mathbb{R}$

Le.Giang · 29-12-2008, 12:25 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

F hợp với G ra toàn bộ số tự nhiên lớn hơn 0. Mà G không chứa 1 vậy thì ...

em hiểu rồi, do chỉ có g(n) bị ràng buộc theo f(n) còn f(n) bị ràng buộc cùng g(n) là phù toàn N