Một bài phương trình hàm đặc sắc

chinhlh · 27-12-2008, 03:38 PM

Trích:

Nguyên văn bởi myhanh

Anh chưa tính được f(0)!?

Để xem BSGau có làm được không? Anh em mình chờ lời giải của BSGau.

myhanh · 27-12-2008, 03:52 PM

Okie
Sách phương trình hàm. [Đăng nhập để xem liên kết. ].

Le.Giang · 27-12-2008, 05:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

$f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)$ (1)

chọn $x=y=0$ :

(1)=> $f(0+f(0))+f(0*f(0))=y+f(0)+0*f(0)$

=> $f(f(0))=0$ (2)

chọn $y=f(0)$ :

(1) => $f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0))=f(0)+f(x)+f(0)*f(x)$

kết hợp với (2) => $f(x)+f(0)=f(0)+f(x)+f(0)*f(x)$

=> $f(0)*f(x)=0$

=> $f(0)=0$ v f(x)=0

* TH1: f(x)=0

khi đó:
$VT=f(x+f(y))+f(x*f(y))=0$

$VP=y+ f(x)+ y*f(x)=y$ với mọi y

không phù hợp!

* TH2: $f(0)=0$

chọn x=0:
(1) => $f(f(y))=y$ với mọi y (3)

chọn x=-1và $y=f(1)$ :
(1) => $f(-1+f(f(1)))+f(-f(f(1)))=f(1)+f(-1)+f(1)*f(-1)$

kết hợp với (3), ta được:
$f(1)+f(-1)*f(1)=0$ (4)

rõ ràng f(1)=0 không thể xảy ra vì nếu f(1)=0 thì $f(f(1))=f(0)$ vô lý vì $f(f(1))=1$ còn $f(0)=0$ , như vậy (4) => $f(-1)=-1$ (5)

chọn y=-1:
(1) => $f(x+f(-1))+f(x*f(-1))=-1+f(x)-1*f(x)$

kết hợp với (5) ta được: $f(x-1)+f(-x)=-1$ (6)

đặt $g(x)=f(x)-x$ với mọi x, từ (6) ta được:
$g(x-1)+g(-x)=0$ với g(0)=0

như vậy để đi tìm hàm f(x) ta bây giờ chỉ cần đi tìm tất cả các hàm số $g:R-->R$ thỏa: $g(x-1)+g(-x)=0$ với g(0)=0

rõ ràng hàm g(x) trên có vô số nghiệm, điều này chỉ xảy ra khi g(x) chính là hàm tầm thường $g(x)=0$ với mọi x!

tóm lại: f(x)=x

PS: đang đợi bắt giò!

chinhlh · 27-12-2008, 05:50 PM

Hàm g(x)=sinx cũng có vô số nghiệm nhưng không phải hàm tầm thường. Suy luận của LeGiang là sai.

chinhlh · 27-12-2008, 11:04 PM

Đã bị bắt trúng giò chưa LeGiang?

Le.Giang · 28-12-2008, 12:00 AM

đang ngâm tiếp phương án khác để giải quyết!

Le.Giang · 28-12-2008, 11:05 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le.Giang

chọn x=0:
(1) => $f(f(y))=y$ $\forall y$ (3)

chọn y=-1:
(1) => $f(x+f(-1))+f(x*f(-1))=-1+f(x)-1*f(x)$
kết hợp với (5) ta được: $f(x-1)+f(-x)=-1$ (6)

đặt $g(x)=f(x)-x$ $\forall x$ , từ (6) ta được:
$g(x-1)+g(-x)=0$ với g(0)=0

đặt $g(x)=f(x)-x$ $\forall x$ , từ (6) ta được:

$g(x-1)+g(-x)=0$ với ${g(0)=0}$ , từ đây dễ dàng tính được ${g(x)=0}$ $\forall x \in {Z}$

từ (3) ta có $g(g(x)+x)=0$ $\forall x \in R$ hay $g(x) \equiv 0$ $\forall x \in R$ , từ đây suy ra f(x)=x

Le.Giang · 28-12-2008, 01:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Tìm tất cả các hàm f:R->R sao cho:
f(f(x+y))= f(x+y) + f(x)f(y) - xy (1)

đặt ${a=f(0)}$

Trích:

tính ${f(0)}$

chọn ${x=x_0,y=0}$

với ${x_0}$ xác định sau.

(1) => $f(f(x_0))=(a+1).f(x_0)$ (2)

nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:

$f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0)))$ (3)

lại áp dụng (2) để giải quyết:

$VT(3)= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)$

$VP(3)=f(f((a+1).f(x)))=(a+1).f((a+1).f(x_0))$

ta có $VT(3)=VP(3)<br /> => [\begin{array}{c}a+1=0\(4a)\\f((a+1).f(x_0))=(a+1). f(x_0)\(4b)\end{array}$

TH1: $a+1=0\(4a)$ khi đó f(0)=-1

chọn ${x=y=0}$ :

(1) => $f(f(0))=f(0)+{f^2}(0)$ => $f(-1)=-1+{(-1)^2}$ => $f(-1)=0$ (4a1)

chọn ${x=0,y=-1}$ :

(1) => $f(f(-1))=f(-1)+f(0).f(-1)$ => ${-1=0+0*(-1)}$ => ${-1=0}$ hiển nhiên là không phù hợp!

TH2: $f((a+1).f(x_0))=(a+1).f(x_0)\(4b)$

đặt $(a+1).f(x_0)=t_0$ , khi đó (4) => $f(t_0)=t_0$ (5) với $t_0$ là một điểm cố định

chọn ${x=t_0,y=0}$ :

(1) => $f(f(t_0))=f(t_0)+f(0).f(t_0)$

kết hợp với (5) ta được:
$t_0=t_0+f(0).t_0$

=> $f(0).t_0=0$

$=>[\begin{array}f(0)=0\\t_0=0\end{array} (6)$

ta có ${t_0=0}$ từ (5) => ${f(0)=0}$ , như vậy (6) => ${f(0)=0}$

Trích:

tìm $f(x)$

chọn ${y=0}$ :

từ (1) => $f(f(x))=f(x)$ (7)

từ (7) thế trở lại (1) ta được: $f(x).f(y)=x.y$ (8)

chọn y=1:

từ (8) => $f(x)=x.{\frac1{f(1)}}$ => $f(x)={b.x}$ với $b={\frac1{f(1)}}$ (9)

thế trở lại (1):

$b^2.(x+y)=b.(x+y)+b.xy-xy$

=> $(b-1).[b.(x+y)-xy]=0$ $\forall x,y \in R$

$=> b=1$ như vậy từ (9) => ${f(x)=x}$

chinhlh · 28-12-2008, 04:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Le.Giang

đặt $g(x)=f(x)-x$ $\forall x$ , từ (6) ta được:

$g(x-1)+g(-x)=0$ với ${g(0)=0}$ , từ đây dễ dàng tính được ${g(x)=0}$ $\forall x \in {Z}$

từ (3) ta có $g(g(x)+x)=0$ $\forall x \in R$ hay $g(x) \equiv 0$ $\forall x \in R$ , từ đây suy ra f(x)=x

cho g(x)=-x với x không thuộc Z và g(x)=0 với x thuộc Z. Như vậy từ đẳng thức g(g(x)+x)=0 không suy ra được g(x)=0 với mọi x. Lại sơ hở nữa rùi!

chinhlh · 28-12-2008, 04:47 PM

chọn ${x=x_0,y=0}$

với ${x_0}$ xác định sau.

(1) => $f(f(x_0))=(a+1).f(x_0)$ (2)

nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:

$f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0)))$ (3)

lại áp dụng (2) để giải quyết:

$VT(3)= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)$

Sai ở chỗ này: Vế phải phải có 3 chữ f. Hơn nữa phải xét xem liệu f(0) có bằng -1 không rồi mới đem 2 vế chia cho f(0)+1.