Đề thi HSG Toán cấp tỉnh vòng 1 2008-2009

chinhlh · 21-11-2008, 02:52 AM

Ta chứng minh BDT sau đây và từ đó suy ra BDT ban đầu :
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ 2 \geq a+b+c+2(a^2+b^2+c^2).$
Điều này tương đương với
$(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2+(\frac{1}{a}-1)(c-a)^2 \geq 0.$
Nếu cả ba số $a,b,c$ đều không lớn hơn 1 thì ok.
Bây giờ giả sử $a>1.$ Ta sử dụng BDT sau đây :
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$ với $x,y$ là các số dương.
Ta có
$(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2 \geq \frac{(a-b)^2}{\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}.$
Như vậy ta cần chứng minh $\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\leq \frac{a}{a-1}.$
Sau khi rút gọn ta được $a+b+c+3abc\geq 2 .$
Rào cản cuối cùng được giải quyết bởi BDT Cauchy ở dạng sơ cấp nhất. Ta làm như sau :
$a+b+c+3abc=a+b+c+3a(1-ab-ac)=4a+(b+c)(1-3a^2)\geq 4a+\frac{1-3a^2}{a}$
$=a+\frac{1}{a}>2.$

chinhlh · 21-11-2008, 03:01 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MarsNIIT

Có phải bạn Chinh đang ở Pháp không, nhìn IP biết là ở Pháp, đang làm nghiên cứu sinh hả em.

Nội lực của anh myhanh cũng chẳng kém đâu, nói chung mấy bài này sẽ thu hút hs ở trường tham gia xem và học tập.

Dạ không, em đang học Master 2 ở Pháp. Anh Myhanh thì siêu rồi. Chẳng những nội công thâm hậu mà còn có hiểu biết rông nữa.

myhanh · 21-11-2008, 08:52 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Dạ không, em đang học Master 2 ở Pháp. .

Học PhD toán luôn nhé! Hôm qua đọc bài báo nói mỗi năm VN cần 50 PhD Toán vậy mà nhân tài như lá mùa thu (mà mùa thu nhiều bão như năm ni mới ác). Chúc em học giỏi nha.

Trích:

Anh Myhanh thì siêu rồi. Chẳng những nội công thâm hậu mà còn có hiểu biết rông nữa.

Đừng khen anh như thế vì anh sẽ nổ cái mũi mất, thật ra anh chỉ nhớ dai thôi chứ không giỏi đâu!

lovelqd · 21-11-2008, 08:57 AM

Trích:

Nguyên văn bởi myhanh

Học PhD toán luôn nhé! Hôm qua đọc bài báo nói mỗi năm VN cần 50 PhD Toán vậy mà nhân tài như lá mùa thu (mà mùa thu nhiều bão như năm ni mới ác). Chúc em học giỏi nha.

Đừng khen anh như thế vì anh sẽ nổ cái mũi mất, thật ra anh chỉ nhớ dai thôi chứ không giỏi đâu!

Học tiến sĩ ráng cố gắng xuất sắc luôn nhé! Chứ làm toán mà làm thường thường rồi để kiếm ăn thì chẳng có nghĩa lí gì! Nếu đc thì ở bên đó luôn đừng về VN đụng ch cơm áo gạo tiền thì gần như ko ra cái gì mới cả! Học Toán chỉ có sống với T mới mang hơi thở của T và ý tưởng Toán!