Đề thi HSG Toán cấp tỉnh vòng 1 2008-2009

chinhlh · 21-11-2008, 01:52 AM

Ta chứng minh BDT sau đây và từ đó suy ra BDT ban đầu :
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ 2 \geq a+b+c+2(a^2+b^2+c^2).$
Điều này tương đương với
$(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2+(\frac{1}{a}-1)(c-a)^2 \geq 0.$
Nếu cả ba số $a,b,c$ đều không lớn hơn 1 thì ok.
Bây giờ giả sử $a>1.$ Ta sử dụng BDT sau đây :
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$ với $x,y$ là các số dương.
Ta có
$(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2 \geq \frac{(a-b)^2}{\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}.$
Như vậy ta cần chứng minh $\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\leq \frac{a}{a-1}.$
Sau khi rút gọn ta được $a+b+c+3abc\geq 2 .$
Rào cản cuối cùng được giải quyết bởi BDT Cauchy ở dạng sơ cấp nhất. Ta làm như sau :
$a+b+c+3abc=a+b+c+3a(1-ab-ac)=4a+(b+c)(1-3a^2)\geq 4a+\frac{1-3a^2}{a}$
$=a+\frac{1}{a}>2.$