Đề thi OLympic Toán Quốc Tế IMO 2008

[Gem]

Ngày 1

Bài 1

Cho là trực tâm của tam giác nhọn . Đường tròn có tâm là trung điểm cạnh và đi qua , cắt đường thẳng tại , . Các điểm , , , xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm , , , , , cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài 2

a.Cho là các số thực khác 1 thỏa mãn
Cmr :
1


b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)

Bài 3

Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho có 1 ước nguyên tố lớn hơn .

Ngày 2

Bài 4: Tìm tất cả các hàm sao cho

với mọi số thực dương mà .

Bài 5: Giả sử và là các số nguyên dương với và là số chẵn. Cho bóng đèn được đánh số từ đến ; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).

Giả sử là số các dãy mà mỗi dãy gồm bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ đến sáng, các bóng từ đến tắt

Giả sử là số các dãy mà mỗi dãy gồm bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ đến sáng, các bóng từ đến tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ đến được bật.

Tính tỉ số .

Bài 6: Giả sử là một tứ giác lồi với . Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác và tương ứng qua và . Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng kéo dài tại một điểm đi sau và tiếp xúc với nửa đường thẳng kéo dài tại một điểm đi sau , đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng và . Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của và giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn