nhập môn số học

[LeGiang]

Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence

Lời giới thiệu tới Diophantine phương pháp: không hợp lý và tính siêu việt

Content
Diophantine approximation is a chapter in number theory which has witnessed outstanding progress together with a number of deep applications during the recent years. The proofs have long been considered as technically difficult. However, we understand better now the underlying ideas, hence it becomes possible to introduce the basic methods and the fundtal tools in a more clear way.

Nội dung.
Phép xấp xỉ điôfan là một chương trong lý thuyết số mà đã chứng kiến sự tiến bộ nổi bật cùng với một số ứng dụng sâu trong thời gian gần đây years. Những sự chứng minh được có lâu dài được xem xét như về mặt kỹ thuật khó. Tuy nhiên, chúng tôi hiểu tốt hơn bây giờ Những ý tưởng nằm bên dưới, từ đây Nó trở nên khả dĩ để giới thiệu những phương pháp cơ bản và nền tảng những công cụ trong một cách sáng sủa hơn.

We start with irrationality proofs. Historically, the first ones concerned irrational algebraic numbers, like the square roots of non square positive integers. Next, the theory of continued fraction expansion provided a very useful tool. Among the first proofs of irrationality for numbers which are now known to be transcendental are the ones by H. Lambert and L. Euler, in the XVIIIth century, for the numbers e and pi. Later, in 1815, J. Fourier gave a simple proof for the irrationality of e.

Chúng tôi bắt đầu với không hợp lý proofs. Về lịch sử, thứ đầu tiên liên quan những số đại số vô lý, như những căn bậc hai (của) không phải hình vuông dương tính integers. Tiếp theo, lý thuyết (của) sự mở rộng liên phân số cung cấp một công cụ rất hữu ích. Trong số đầu tiên những sự chứng minh (của) không hợp lý (cho) những số mà bây giờ được biết siêu việt là thứ Bởi H. Lambert Và L. Euler, vào thế kỷ XVIIIth, (cho) E những số Và pi. Sau đó, vào 1815, J. Fourier cho Một sự chứng minh đơn giản (cho) không hợp lý (của) E.

We first give this proof by Fourier and explain how J. Liouville extended it in 1840 (four years before his outstanding achievement, where he produced the first examples of transcendental numbers). Such arguments are very nice but quite limited, as we shall see. Next we explain how C. Hermite was able in 1873 to go much further by proving the transcendence of the number e. We introduce these new ideas of Hermite in several steps: first we prove the irrationality of the exponential of r for non-zero rational r as well as the irrationality of pi. Next we relate these simple proofs with Hermite's integral formula, following C.L. Siegel (1929 and 1949). Hermite's arguments led to the theory of Padé Approximants. They also enable Lindemann to settle the problem of the quadrature of the circle in 1882, by proving the transcendence of pi.

Chúng tôi đầu tiên đưa cho sự chứng minh này bởi Fourier và giải thích như thế nào J. Liouville mở rộng nó vào 1840 (bốn năm trước khi thành tích nổi bật (của) anh ấy, nơi ông ta sản xuất những ví dụ đầu tiên (của) những số siêu việt). Những lý lẽ như vậy rất đẹp mà khá hạn chế, như Chúng tôi sẽ see. Tiếp theo Chúng tôi giải thích như thế nào C. Hermite (thì) có khả năng trong 1873 để đi nhiều xa hơn nữa bằng việc tỏ ra tính siêu việt (của) E số. Chúng tôi giới thiệu những ý tưởng mới này (của) Hermite trong vài bước: đầu tiên Chúng tôi tỏ ra không hợp lý (của) đường số mũ Của R (Cho) khác không hợp lý R Tốt như không hợp lý (của) pi. Tiếp theo Chúng tôi liên hệ những sự chứng minh đơn giản này với công thức tích phân (của) Hermite, đi theo sau C. L. Siegel (1929 và 1949). Những lý lẽ (của) Hermite dẫn tới lý thuyết (của) Padé Approximants. Họ cũng cho phép (cho) Lindemann giải quyết vấn đề (của) cầu phương (của) vòng tròn vào 1882, bằng việc tỏ ra tính siêu việt (của) pi

One of the next important steps in transcendental number theory came with the solution by A.O. Gel'fond and Th. Schneider of the seventh of the 23 problems raised by D. Hilbert at the International Congress of Mathematicians in Paris in 1900: for algebraic alpha and beta with alpha not 0 nor 1 and and beta irrational, the number alpha^beta is transcendental. An example is 2^{\sqrt{2}}, another less obvious example is e^pi. The proofs of Gel'fond and Schneider came after the study, by G. Polya, in 1914, of integer valued entire functions, using interpolation formulae going back to Hermite. We introduce these formulae as well as some variants for meromorphic functions due to R. Lagrange (1935) and recently rehabilitated by T. Rivoal (2006). The end of the course will be devoted to a survey of the most recent irrationality and transcendence results, including results of algebraic independence. We shall also introduce the main conjectures on this topic.

Một trong số (kẻ) kế tiếp quan trọng bước vào lý thuyết số siêu việt đến với giải pháp Bởi A.O. Chất gien' Yêu dấu Và Th. Schneider của bảy của 23 vấn đề được nâng bởi D. Hilbert tại Đại hội Quốc tế (của) những nhà toán học trong Paris vào 1900: (cho) alpha và bêta đại số với alpha không phải là 0 mà cũng không 1 và và bêta vô lý, số alpha^ Bêta transcendental. Một ví dụ là 2^{\ sqrt { 2}}, ví dụ ít hiển nhiên hơn khác là E^ pi. Những sự chứng minh (của) Chất gien' Yêu dấu và Schneider đến sau sự nghiên cứu, Bởi G. Polya, vào 1914, của số nguyên đánh giá những hàm nguyên, sử dụng phép nội suy formulae đi sau Tới Hermite. Chúng tôi giới thiệu formulae này cũng như một số phương án (cho) những hàm phân hình phải trả cho R. Lagramgian tree (1935) Và mới đây phục hồi Bởi T. Rivoal (2006). Kết thúc (của) khóa học sẽ được cống hiến cho Một sự khảo sát của nhiều không hợp lý gần đây nhất và những kết quả siêu việt, bao gồm những kết quả Của Đại số independence. Chúng tôi sẽ cũng giới thiệu những giả thuyết chính trên đề tài này.