Cựu Học Sinh Lê Quý Đôn - Long An - View Single Post

chinhlh · 25-02-2009, 02:36 PM

Câu 4 có thể là:
Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^n+b^n+c^n$ là số nguyên với mọi số nguyên dương n. CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+r=0$

Ta cần chứng minh ab+bc+ca và abc là 2 số nguyên.
Ta có $2(a^3+b^3+c^3)-6abc=(a+b+c)(3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2$ . Từ đó suy ra 6abc là số nguyên. Thay a,b,c bởi $a^2,b^2,c^2$ ta được $6a^2b^2c^2$ là số nguyên và do đó $abc\in Z$ .
Tương tự như vậy ta chứng minh được 2(ab+bc+ca) và $2(ab+bc+ca)^2$ đều là số nguyên. Từ đó suy ra kết quả.

25-02-2009, 02:36 PM	#3
Hồ sơ chinhlh Senior Member Tham gia ngày: Nov 2007 Cư ngụ: Bình Thành, Đức Huệ, Long An Số bài viết: 173 Tiền: 25 Thanks: 369 Thanked 128 Times in 75 Posts	Re: đề Thi Hsgqg Toán 2009 Câu 4 có thể là: Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^n+b^n+c^n$ là số nguyên với mọi số nguyên dương n. CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+r=0$ Ta cần chứng minh ab+bc+ca và abc là 2 số nguyên. Ta có $2(a^3+b^3+c^3)-6abc=(a+b+c)(3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2$ . Từ đó suy ra 6abc là số nguyên. Thay a,b,c bởi $a^2,b^2,c^2$ ta được $6a^2b^2c^2$ là số nguyên và do đó $abc\in Z$ . Tương tự như vậy ta chứng minh được 2(ab+bc+ca) và $2(ab+bc+ca)^2$ đều là số nguyên. Từ đó suy ra kết quả. __________________ Đất khách muôn trùng sao nhỏ hẹp? Quê nhà một góc nhớ mênh mông! thay đổi nội dung bởi: chinhlh, 25-02-2009 lúc 03:03 PM.