Trích:
Nguyên văn bởi BS gau
Tìm tất cả các hàm f:R->R sao cho:
f(f(x+y))= f(x+y) + f(x)f(y) - xy (1)
|
đặt
})
Trích:
tính })
|
- chọn
với
xác định sau.
(1) =>
)=(a+1).f(x_0))
(2)
nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:
)))=f(f((a+1).f(x_0))))
(3)
lại áp dụng (2) để giải quyết:
= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0))
=f(f((a+1).f(x)))=(a+1).f((a+1).f(x_0)))
ta có
=VP(3)<br />
=> [\begin{array}{c}a+1=0\(4a)\\f((a+1).f(x_0))=(a+1). f(x_0)\(4b)\end{array})
- TH1:
)
khi đó f(0)=-1
- chọn
:
(1) =>
)=f(0)+{f^2}(0))
=>
=-1+{(-1)^2})
=>
=0)
(4a1)
- chọn
:
(1) =>
)=f(-1)+f(0).f(-1))
=>
})
=>
hiển nhiên là không phù hợp!
- TH2:
.f(x_0))=(a+1).f(x_0)\(4b))
đặt
.f(x_0)=t_0)
, khi đó (4) =>
=t_0)
(5) với
là một điểm cố định
- chọn
:
(1) =>
)=f(t_0)+f(0).f(t_0))
kết hợp với (5) ta được:
.t_0)
=>
.t_0=0)
=0\\t_0=0\end{array} (6))
ta có
từ (5) =>
=0})
, như vậy (6) =>
Trích:
tìm )
|
- chọn
:
từ (1) =>
)=f(x))
(7)
từ (7) thế trở lại (1) ta được:
.f(y)=x.y)
(8)
từ (8) =>
=x.{\frac1{f(1)}})
=>
={b.x})
với
}})
(9)
thế trở lại (1):
=b.(x+y)+b.xy-xy)
=>
.[b.(x+y)-xy]=0)
như vậy từ (9) =>
=x})