Trích:
Nguyên văn bởi BS gau
)+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)) (1) |
chọn
:
(1)=>
)+f(0*f(0))=y+f(0)+0*f(0))
=>
)=0)
(2)
chọn
)
:
(1) =>
))+f(x*f(f(0))=f(0)+f(x)+f(0)*f(x))
kết hợp với (2) =>
+f(0)=f(0)+f(x)+f(0)*f(x))
=>
*f(x)=0)
=>
=0)
v f(x)=0
* TH1: f(x)=0
khi đó:
)+f(x*f(y))=0)
+ y*f(x)=y)
với mọi y
không phù hợp!
* TH2:
chọn x=0:
(1) =>
)=y)
với mọi y (3)
chọn x=-1và
)
:
(1) =>
))+f(-f(f(1)))=f(1)+f(-1)+f(1)*f(-1))
kết hợp với (3), ta được:
+f(-1)*f(1)=0)
(4)
rõ ràng f(1)=0 không thể xảy ra vì nếu f(1)=0 thì
)=f(0))
vô lý vì
)=1)
còn
, như vậy (4) =>
=-1 )
(5)
chọn y=-1:
(1) =>
)+f(x*f(-1))=-1+f(x)-1*f(x))
kết hợp với (5) ta được:
+f(-x)=-1 )
(6)
đặt
=f(x)-x)
với mọi x, từ (6) ta được:
+g(-x)=0)
với g(0)=0
như vậy để đi tìm hàm f(x) ta bây giờ chỉ cần đi tìm tất cả các hàm số
thỏa:
+g(-x)=0)
với g(0)=0
rõ ràng hàm g(x) trên có vô số nghiệm, điều này chỉ xảy ra khi g(x) chính là hàm tầm thường
=0 )
với mọi x!
tóm lại: f(x)=x
PS: đang đợi bắt giò!