[chinhlh]

Nếu M và N có cùng tính chất, ta viết M~N.

Giả sử ABCDE là ngũ giác lồi đã cho và A~B. Nếu trong ba điểm C,D,E có một điểm cùng tính chất với A thì ta tìm được một đường chéo với hai đầu mút có cùng tính chất và trung điểm của đường chéo này là một điểm nguyên nằm bên trong ABCDE. Bây giờ xét trường hợp C,D,E khác tính chất với A. Gọi F là điểm nguyên trên cạnh AB và gần A nhất. Như vậy, F không cùng tính chất với A. Trong năm điểm AFCDE có ít nhất hai điểm có cùng tính chất, đó là C~D hoặc D~E ( Nếu điểm F tham gia vào việc này thì ta có ngay kết luận).
TH1. C~D. Gọi G là điểm nguyên trên cạnh CD và khác tính chất với C. Trong 5 điểm AFCGE có ít nhất hai điểm cùng tính chất, nếu đó không phải là hai đầu mút của đường chéo CE thì một trong hai điểm F, G phải tham gia vào và ta có kết luận.
TH2. D~E. Gọi H là điểm nguyên trên cạnh DE và khác tính chất với E. Phần còn lại được lập luận tương tự như trên.

Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng bên trong một đa giác lồi n đỉnh nguyên, tồn tại ít nhất [(n-3)/2] điểm nguyên. Trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x.