Ðề: Nguyên tắc Dirichlet
Peanux xin tham gia giải bài số 1 như sau:
Nếu a1, a2, ..., a2004 không có hai số nào khác nhau thì từ:
a1+a2+...+a2004=4008 ta có:
a1=a2=a3=...=a2004=2. Từ đây ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.
Nếu a1, a2, ..., a2004 tồn tại ít nhất có hai số khác nhau. Do vai trò như nhau của các số này nên ta giả sử hai số khác nhau này là a1 < a2.
Ta xét các tổng sau:
S1=a1
S2=a2
S3=a1+a2
S4=a1+a2+a3
.......................
S2004=a1+a2+...+a2003
Ta có Si>Sj nếu 1<=j<i<=2004 và Sk < 4008 k=1,..,2004 (1)
Giả sử trong các số S1, S2, ..., S2004 có số chia hết cho 2004 giả sử là Sn. Kết hợp (1) ta có Sn=2004 đây là điều phải chứng minh.
Trong trường hợp các số S1, S2, ..., S2004 không có số nào chia hết cho 2004. Vì có 2004 số mà chỉ có 2003 số dư nên phải có hai số cùng số dư ( theo nguyên tắc Dirichlet). Giả sử hai số này là Si và Sj (i>j) thì ta có Si-Sj chia hết cho 2004, Si-Sj < 4008 do đó Si-Sj =2004. Xem lại một chút ta thấy Si-Sj cũng là tổng của một số số trong a1,..., a2004 vì Si không thể là S2 và Sj không thể là S1 do S2-S1=a2-a1 < 2004.
|